période d'échantillonnage

fréquence d'échantillonnage

Définissons le signal échantillonné

Ce signal échantillonné n'a généralement pas de réalité physique, bien que l'on puisse en réaliser des approximations. Il est surtout un intermédiaire mathématique pour faire le lien entre le discret et le continu.

Calculons la transformée de Fourier

Si toute l'énergie du signal est comprise entre et (c'est à dire que la bande du signal est telle que ) les spectres dupliqués ne se recouvrent pas. Un filtre passe-bas de fréquence de coupure supprime les spectres dupliqués et restitue exactement le signal.

Cette opération peut être interprétée comme une interpolation qui calcule le signal entre les échantillons. On parle alors d'interpolation de Shannon ou de Nyquist. Cette interpolation est exacte si la condition précédente dite de Shannon ou de Nyquist est respectée.

Applications :

Transmission du signal (téléphone…)

Enregistrement numérique (CD audio…)

Exprimons la transformée de Fourier du signal continu à partir des échantillons.

si les conditions de Shannon sont respectées.

(définition de la TF continue)

En comparant avec la définition de la TFd :

On voit que

On voit alors la signification de , "fréquence réduite", c'est à dire fréquence relative à la fréquence d'échantillonnage.

Soit un filtre continu de réponse impulsionnelle , le signal d'entrée, le signal de sortie et ,,leurs transformées de Fourier.

On sait que la sortie est la convolution de l'entrée par la réponse impulsionnelle:

En fréquence, la convolution devient un simple produit :

On échantillonne , et .

Calculons la convolution de par :

Sa transformée de Fourier est

Si la condition de Shannon est vérifiée pour et pour, les motifs dupliqués ne se chevauchent pas et tous les termes de la somme double sont nuls pour . La somme devient une somme simple :

Or on a vu que s'exprime en fonction de la TFd de

Donc :

On reconnaît une équation de filtrage numérique vue en fréquence. Elle correspond à une convolution discrète

ou

On peut donc remplacer le filtre continu de RI par un filtre numérique de réponse en le faisant précéder d'un filtre anti-repliement et suivre d'un filtre interpolateur

Exercices :

En utilisant la méthode du filtrage hybride, on veut réaliser un filtre passe-bas très raide de fréquence de coupure 25 hertz, pour une fréquence d'échantillonnage de 100 hertz. Dessiner l'allure de la réponse en fréquence du filtre. En déduire celle de la réponse impulsionnelle continue et la réponse impulsionnelle discrète (On obtient une réponse infinie et non causale : nous verrons au chapitre consacré à la synthèse des filtres comment rendre ce filtre réalisable).

Même questions pour réaliser un retard de 0,105 secondes et une fréquence d'échantillonnage de 100 hertz.

Nous avons vu que l'échantillonnage temporel permet de transmettre un signal, de le mémoriser, et de le filtrer. Il ne suffit pas pour faire des opérations plus complexes dans le domaine des fréquences. En effet, la TFd est une fonction continue qui n'est pas manipulable en numérique. Il est donc souhaitable d'obtenir une représentation fréquentielle qui soit discrète.

Dans ce but, on peut échantillonner la TF d'un signal continu, tout comme on a échantillonné le signal temporel.

: pas d'échantillonnage en fréquence

Introduisons

Sa transformée de Fourier inverse est

On peut ici énoncer une condition de Shannon duale : l'échantillonnage en fréquence est réversible si la durée du signal temporel est limitée à , mais cela n'a guère d'application pratique.

Résumons :

Un signal de bande limitée peut être échantillonné temporellement.

Un signal de durée limitée peut être échantillonné en fréquence.

Or, un signal ne peut pas être à la fois limité en temps et en bande ! Il est donc généralement impossible d'échantillonner à la fois en temps et en fréquence.

Cela n'est possible que dans le cas d'un signal périodique.

Soit un signal continu périodique de période construit par périodisation d'un signal à bande limitée :

Notons que puisqueest limité en bande il n'est pas limité en durée.

La TF de est le produit d'un peigne de Dirac pas la TF de . Il est déjà discret en fréquence.

étant limité en bande, l'est aussi. Il est donc possible de l'échantillonner.

On obtient la périodisation d'une fonction multipliée par un peigne.

Si on choisit une fréquence d'échantillonnage telle qu'il y ait un nombre entier d'échantillons par période, c'est à dire tel que la suite discrète est alors périodique de période .

De plus, cette condition revient à écrire que , et donc

La périodicité en fréquence est un multiple entier de l'espacement entre les impulsions de Dirac.

Avec périodique de période

Établissons la relation entre ces deux suites :

Puisque est périodique de période N

On obtient la relation de TFD, transformée de Fourier discrète.

La relation inverse s'établie aisément :

Dans les autres cas (signaux non périodiques), l'utilisation de la TDF n'est pas rigoureusement l'échantillonnage de la TF continue. Il faudra toujours avoir à l'esprit que son utilisation suppose implicitement une périodisation des signaux, et cela dans les deux espaces temps et fréquence.

Illustration (tableau de TF)!!!!

signaux de durée N

Toutes les propriétés se déduisent des propriétés de la transformée continue en se rappelant que chaque signal manipulé, de durée finie, doit être considéré comme une période d'un signal périodique, et cela en temps et en fréquence. La conséquence en est que la translation d'un signal (qui intervient aussi dans les opérations de convolution ou de corrélation) se traduit par un décalage circulaire.

On montre facilement que si est réel, sa transformée possède une symétrie Hermitienne :

Cette propriété se conserve avec la TFD.

c'est à dire

On en déduit que

De plus, puisque (périodicité)

La TFD d'un signal réel de N points peut donc se représenter par N/2+1 valeurs en partie réelle et N/2-1 valeurs en partie imaginaire (les autres de retrouvant par symétrie).